Cálculo Variacional com Aplicação ao Problema de Sturm-Liouville

Abstract

O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero. Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação. Nesta dissertação faremos uma exposição dos principais conceitos do cálculo variacional com ênfase na equação de Euler-Lagrange, que trata-se de uma condição necessária para extremos locais de uma determinada classe de funcionais. Nosso objetivo principal é estudar os problemas de extremidades fixas com e sem vínculos para tratar o problema de Sturm-Liouville por meio de uma abordagem variacional. Veremos que cada autovalor do problema de Sturm-Liouville é obtido pela resolução de um problema variacional de minimização para depois, através desse fato, conseguirmos estimativas para esses autovalores.