Corpos não-euclideanos com posto um

Abstract

Dizemos que um corpo de números K é Euclidiano em relação à norma algébrica usual 𝑁, se, para quaisquer inteiros algébricos 𝛼 e 𝛽 de K, com 𝛽 não nulo, existe um inteiro algébrico 𝛾 em K tal que |𝑁 (𝛼 − 𝛽𝛾)| < |𝑁 (𝛽)|, o “algoritmo de Euclides” de 𝐾. Se K é Euclidiano, então o seu anel de inteiros algébricos, 𝐴, é um domínio de ideais principais e, portanto, um domínio de fatoração única, o que é um resultado muito útil na resolução de equações diofantinas. Em 1952, E.S. Barnes e H.P.F. Swinnerton-Dyer mostraram que, no caso em que K/Q é uma extensão quadrática, existem, exatamente, vinte e um corpos Euclidianos em relação à norma usual. Para corpos cúbicos e de grau quatro, H. Davenport e, mais tarde, J.W.S. Cassels, mostraram que existe apenas um número finito de corpos Euclidianos, se o grupo das unidades 𝐴* tem posto um. Por exemplo, Cassels mostrou que corpos cúbicos complexos K não podem ser Euclidianos se −Δᴋ > 420², com Δᴋ sendo o discriminante de ᴋ; há, portanto, apenas um número finito deles. Cioffari usou a cota de Cassels para determinar todos os corpos Euclidianos da forma Q(³√𝑑), mostrando que os únicos tais corpos euclidianos são: Q(³√2), Q(³√3) e Q(³√10). Nesta dissertação, apresentamos um estudo detalhado das técnicas que ele usou para obter o resultado.