Bilhares triangulares irracionais e estádios elípticos: Mixing, Caos e Quantização

Abstract

Em mecânica clássica, o caos é caracterizado por uma forte dependência das trajetórias no espaço de fases com suas condições iniciais. Esta dependência é comumente quantificada por um expoente de Lyapunov positivo. Mais geralmente, a teoria ergódica dos sistemas dinâmicos os classifica nos conjuntos simplesmente ergódico (E), mixing (M), Kolmogorov (K) e Bernoulli (B). Apenas os sistemas K e B são caóticos. Protótipos simples nessa teoria são os bilhares, cavidades planas onde uma partícula move-se livremente entre colisões elásticas com a fronteira. Esta dinâmica conservativa pode variar de regular a caótica, dependendo apenas da geometria da borda. Em mecânica quântica, o princípio da incerteza inviabiliza uma caracterização do caos baseada em trajetórias. Assim, os resultados apresentados nesta tese procuram contribuir para este tema desafiador e que tem sido de grande interesse nas últimas décadas: a quantização de sistemas classicamente caóticos. Aqui, apresentamos resultados numéricos sobre propriedades clássicas e quânticas de uma família de Bilhares em Triângulos Irracionais (BTIs) e de Bilhares em Estádios Elípticos (BEEs). A motivação para o estudo dos BTIs é que classicamente polígonos nunca são caóticos, mas uma conjectura proposta por Casati e Prosen (CP) sugere que BTIs são fortemente mixing. Para os BEEs, a conjectura de Markarian e colaboradores (Mc) remete a uma possível linha de transição entre um espaço de fases misto e outro completamente caótico. Aqui, a dinâmica clássica foi caracterizada através da medida relativa, de funções de correlação e pela entropia de Shannon. Nos BTIs, verificamos que a irracionalidade dos ângulos não é condição suficiente para que eles sejam fortemente mixing, restringindo a conjectura de CP. Nos BEEs, encontramos evidências numéricas para uma transição tipo λ com os mesmos expoentes críticos observados no hélio líquido, resultados que dão interessante suporte à conjectura de Mc. No âmbito da quantização, utilizamos um método de scaling para obter 150 000 autovalores de energia para cada bilhar. Investigamos a distribuição de espaçamento entre primeiros vizinhos p(s), a rigidez espectral Δ₃(L), e a presença de ruído 1/fᵅ a na estatística δn. Nos BTIs, mostramos que p(s) e Δ₃(L) se aproximam dos resultados previstos para o Ensemble Gaussiano Ortogonal (GOE) das matrizes aleatórias quando a geometria corresponde a uma dinâmica clássica fortemente mixing. Este resultado nos faz acreditar que a propriedade ergódica necessária para espectros tipo GOE no limite quântico é a de mixing forte, não caos, como frequentemente considerado na literatura. Nos BEEs, mostramos que na região onde o espaço de fases é misto, p(s) é bem descrita pela distribuição de Brody ou pela distribuição de Berry-Robnik-Brody. Embora ajustes próximos aos do GOE sejam satisfatórios na região caótica, não foi possível verificar uma linha de transição clara entre os dois regimes a partir das propriedades quânticas investigadas.