Matrizes explícitas em elementos finitos de alta ordem aplicadas a problemas de elasticidade 2D e 3D

Abstract

Neste trabalho é apresentada a formulação explícita para elementos triangulares e tetraédricos de ordem superior aplicados à solução de problemas envolvendo elasticidade 2D e 3D com o Método dos Elementos Finitos. A precisão dos resultados de análises utilizando o MEF está diretamente ligada a malha e exatidão do elementos. As técnicas de refino mais usuais são as versões adaptativas h, p, hp e r, em que a versão h mantém constante a ordem das funções de forma e eleva o número de elementos de forma a minimizar o erro. Por sua vez, a versão p mantém constante o número de elementos e eleva a ordem do polinômio das funções de interpolação para uma melhor aproximação da solução. A versão hp é uma combinação das duas versões anteriores e a versão r é obtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. Os elementos triangular e tetraédrico foram adotados para o presente estudo, pois possuem a vantagem de adequar-se às mais diversas formas geométricas. Para formulação dos elementos de ordem superior, a ordem dos polinômios de Lagrange é incrementada para construção dos elementos triangulares T6(6 nós), T10(10 nós), T15(15nós) e T21(21 nós) e elementos tetraédricos TE10(10 nós), TE20(20 nós) e TE35(35 nós). A grande vantagem dos elementos de ordem superior é a maior precisão dos resultados a medida que a ordem do polinômio aumenta. Portanto, são necessários menos elementos que a versão h-Adaptativa para solução do problema, reduzindo, assim, a necessidade de discretização adicional do domínio. As aplicações utilizando elementos finitos de ordem superior apresentam elevado custo computacional, visto que as matrizes dos elementos são obtidas por meio de um grande número de pontos de integração elevando assim o tempo de processamento. De modo a solucionar esse problema foram desenvolvidas matrizes de rigidez explícitas, eliminando as integrações numéricas e maximizando a eficiência do processamento computacional. Aplicações práticas em um código computacional para análise estática e modal de estruturas foram desenvolvidas com auxílio do software MATLAB, onde o usuário informa uma malha inicial com elementos triangulares de três nós (T3) ou tetraédricos de quatro nós (TE4) e define a ordem do elemento a ser aplicado. Por sua vez, o programa se encarrega de gerar os novos nós e conectividades de acordo com o grau do polinômio escolhido. Em seguida, o usuário define as propriedades físicas, condições de contorno e cargas aplicadas, para posterior cálculo dos deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Exemplos de validação são apresentados e confirmam a eficiência em desempenho computacional das rotinas propostas. Nos resultados foi verificado que, para boa parte dos elementos, a estratégia utilizando matrizes explícitas mostrou-se mais eficiente que a integração numérica, com uma considerável redução no tempo de processamento.