Surfando em superfícies : modelagem matemática em espaços curvos e aplicações

Abstract

Estruturas curvas são onipresentes na natureza, particularmente em matemática aplicada. Os sistemas em que estão presentes incluem membranas, interfaces, espaços-tempo curvos, mecânica dos fluidos, etc. Em contraste, os aspectos exaustivos da implementação de quantidades geométricas tornam o uso de geometria diferencial muitas vezes inviáveis para modelar sistemas em espaços curvos, sendo as aplicações limitadas a superfícies triviais. Neste trabalho, apresentamos o Surf, um pacote de matemática simbólica que visa contornar essa dificuldade, com funções para facilitar a modelagem interdisciplinar em sistemas curvos. A idéia principal é ter uma superfície parametrizada como entrada e o modelo de interesse escrito no plano. Como saída, obtemos o sistema modelo na superfície curva desejada. Os operadores usuais para uma determinada superfície são implementados, de modo que um modelo arbitrário possa ser imediatamente mapeado do espaço plano para o espaço curvo. A simplicidade e utilidade de nossa abordagem é ilustrada com algumas aplicações em uma variedade de problemas de pesquisa interdisciplinares: difusão em um espaço curvo, deslocamento quadrático médio, mecânica quântica em superfícies e modelagem da trajetória do C. elegans. Em algumas das aplicações, estendemos resultados da literatura para domínios maiores. Esperamos que este pacote contribua para facilitar a implementação da modelagem matemática em superfícies, cuja demanda vem crescendo de maneira geral.