Transformação potência em EDO e aplicações a sistemas Hamiltonianos

Abstract

Este trabalho visa entender a teoria de transformações potências, cuja referência principal foi o livro "Power Geometry in Algebraic and Di®erential Equation"do autor Alexander D. Bruno, e os resultados obtidos em sistemas de equações diferenciais ordinárias, tendo como objetivo achar soluções assintóticas tendendo para um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais ordinárias. Para alcançar este objetivo, o conteúdo desta Tese consta de seis capítulos. Nos três primeiros capítulos consideramos os conceitos de determinados objetos geométricos importantes na teoria de transformações potências, de curvas assintóticas, de truncamento de funções e da transformação potência introduzindo diversos exemplos. No quarto capítulo é desenvolvido o relacionamento entre os capítulos anteriores, obtendo resultados que essencialmente determinam processos computacionais para achar soluções assintóticas do sistema completo a partir de soluções assintóticas de seus sistemas truncados. No quinto capítulo faz-se uso da teoria desenvolvida em sistemas hamiltonianos de equações diferenciais ordinárias, determinando quando o sistema hamiltoniano truncado é um sistema hamiltoniano, e reciprocamente, quando um sistema hamiltoniano com a função hamiltoniana truncada determina um sistema hamiltoniano truncado. Porém no capítulo desenvolvemos as aplicações deste método, em alguns sistemas hamiltonianos importantes. A saber, o problema de Henon-Heiles, estudamos a instabilidade de sistemas hamiltonianos com dois graus de liberdade no caso de frequência zero e também os diferentes truncamentos do problema restrito de três corpos