Modelos de acoplamento de SIS

Abstract

Neste trabalho, pretendemos estudar as vantagens e as limitações dos modelos de acoplamento de SIS(suscetíveis - infectados - suscetíveis) determinísticos e estocásticos. Nosso objetivo principal é através de uma modelagem minimalista tentar explicitar algumas dificuldades encontradas com a modelagem de doenças tão complexas como a Esquistossomose e as Infecçãoes Hospitares. A alta variância nos dados obtidos em campo para tais modelos [6] têm sido um obstáculo na descrição dessas doenças. É nossa intenção tentar descrever tal fenômeno como sendo resultado de um simples acoplamento entre duas populações. Em um segundo momento, pretendemos estabelecer relações entre conceitos determinísticos e os sistemas estocásticos a exemplo do que é feito para o modelo SIS [19-b, 5, 10]. Tal relação permitiria uma melhor descrição dos modelos estocásticos bem como discutir estratégias de controle. Para tanto, estudamos a suscetibilidade dos modelos criados aos seus parâmetros de base. Como doenças possíveis de serem estruturalmente conceituadas através de nossos modelos citamos novamente os casos da Esquistossomose e das Infecções Hospitalares. Na primeira, temos a população de humanos e a população de focos da doença. Na segunda, temos a população dos doentes e a população composta por médicos e enfermeiros de um hospital. Com o propósito descrito acima, desenvolvemos alguns modelos de acoplamento de modelos SIS determinísticos e estocásticos para simular e estudar a dinâmica da difusão de infecções numa comunidade. Foi construído um modelo estocástico computacional de acoplamento de dois SIS e um modelo determinístico com propósito de descrever o modelo qualitativamente. Nos modelos determinísticos o valor da reprodutividade basal representado pelo símbolo R0, determina a persistência ou extinção da doença. Foi realizada uma análise da estabilidade do equilíbrio determinístico em função da reprodutividade basal definida para o modelo determinístico. Para o modelo computacional, estudamos a convergência para um equilíbrio do número de indivíduos infectados de cada popula ção e da reprodutividade basal calculada. Analisamos o comportamento da reprodutividade basal em função do tamanho de uma das populações e também, em função do tempo de recupera ção dos indivíduos de uma população considerada. Observando a existência de epidemias onde os indivíduos podem se infectar mais de uma vez(superinfecção) como por exemplo, a esquistossomose, resolvemos acrescentar a condição de reinfecção no modelo computacional e analisar o comportamento da reprodutividade basal. Foram construídos modelos estocásticos de acoplamento de modelos SIS em tempo-discreto e em tempo-contínuo introduzindo um vetor bidimensional de cadeias de Markov (X(t); Y (t)), t 0 onde X(t) representa o número de indivíduos infectados de uma população H e Y (t), o número de indivíduos infectados de umapopulação F. Consideramos constantes os tamanhos das duas populações, as taxas de transmiss ão e as taxas de recuperação. Estudamos numericamente o valor esperado do número de indivíduos infectados da população H em função do tamanho da população F e, também, em função do tempo de recuperação dos indivíduos da população F. Nos modelos estocásticos, em alguns casos, o tempo até a extinção da doença pode ser muito longo. Portanto, investigamos a possibilidade de construção de uma distribuição de probabilidade condicionada à não-extinção da doença: a distribuição de probabilidade quase-estacionária. O tratamento analítico para a sua obtenção é complexo e encontra um sem número de dificuldades. Recorremos então a aproxima ções analíticas e numéricas para a sua determinação.Mostramos que o tempo de extinção para o modelo de acoplamento em tempo contínuo construído com início em uma distribuição quase-estacionária tem crescimento exponencial. Construímos um modelo de acoplamento de SIS em tempo-contínuo sob uma abordagem estrutural dentro de um processo semi-Markoviano permitindo formular explicitamente o tempo de espera para a extinção de uma epidemia e a sua variância a partir do estado de infecção de cada população. Uma análise do valor esperado para o tempo de extinção e de sua variância em função dos parâmetros do modelo foi realizada. Finalmente, construímos um modelo de acoplamento de SIS onde foi dado um tratamento determin ístico e estudamos o equilíbrio da matriz de covariância para as variáveis aleatórias que representam os números de indivíduos infectados de cada população