Cálculo fracionário : generalização do cálculo como uma ferramenta versátil para epidemiologia

Abstract

Este trabalho busca entender como a derivada de ordem arbitrária pode ser usada como ferramenta no estudo de equações diferenciais. Para isso, fizemos uma investigação da teoria, desde o surgimento desse ramo do cálculo até os usos mais modernos, como sua aplicação em epidemiologia, juntamente com uma análise numérica para reforçar os achados da teoria. O cálculo fracionário surgiu inicialmente como uma lacuna do estudo do cálculo tradicional, e logo se consolidou como uma generalização do mesmo, permitindo assim que os sistemas de equações diferenciais compostos por operadores derivadas fracionárias capturem melhor, ou de maneira mais acurada, a complexidade de sistemas físicos. Essa característica de representar melhor a complexidade de alguns fenômenos se deve ao fato da derivada fracionária não ser local, isto é, encontrar o valor da derivada de uma função em um ponto não depende apenas dos valores da função nesse ponto ou de sua vizinhança, mas sim dos valores da função em momentos anteriores ao ponto, esse traço é conhecido como efeito de memória. Outro fator que, possivelmente, contribui para o uso de derivadas de ordem arbitrária é que permitir certa liberdade na ordem do operador implica em uma maior diversidade dos fatores que estamos modelando. Para entendermos melhor todas essas generalizações que a teoria aborda,

precisamos nos apoiar em funções bem conhecidas, como as funções gama, beta e Mittag- Leffler. Adicionalmente, utilizando a linguagem de programação Python, estudamos simulações

de modelos bem conhecidos como Lotka-Volterra e o SIR, ambos em suas versões fracionárias. Essas aproximações numéricas nos permitem observar as peculiaridades da derivada de Caputo e como esse efeito de memória influencia na dinâmica do sistema.