Modelo dinâmico hierárquico estocástico para intermitência em turbulência e em outros sistemas complexos

Abstract

Nesta tese, propomos um modelo dinâmico estocástico para intermitência em turbul ência completamente desenvolvida. O modelo é baseado na noção fenomenológica da cascata de energia em turbulência, segundo a qual a energia é injetada na escala integral do sistema por um fluxo externo, formando estruturas coerentes (vórtices) grandes que eventualmente se dividem em vórtices menores, que por sua vez se dividem em vórtices ainda menores, até atingirem a escala de dissipação, onde a energia é dissipada por efeitos de viscosidade. Desta maneira, a energia é transferida essencialmente sem dissipação pela cascata através de uma hierarquia de vórtices de tamanhos cada vez menores. Em nosso modelo, a dinâmica dos fluxos de energia (i.e., as taxas de transferência de energia) entre escalas sucessivas é descrita por um sistema de equações diferenciais estocásticas acopladas que são deduzidas a partir de condições fisicamente razoáveis. Sob a hipótese adicional de que as escalas de tempo característico para a dinâmica em escalas sucessivas são bem separadas, é possível calcular a função densidade de probabilidade (fdp) do fluxo de energia em um dado nível N da cascata de energia como uma integral múltipla que envolve os fluxos de energia de todas as escalas acima. Os momentos da taxa de dissipação de energia em uma dada escala r são encontrados e exibem comportamento de lei de potência cujos expoentes foram calculados analiticamente. Também mostramos que o modelo Log-Normal de Kolmogorov de intermitência é obtido do nosso modelo no limite de uma cascata infinita. Usando a fdp do fluxo de energia, a distribuição de probabilidade dos incrementos de velocidade é calculada explicitamente e expressa em termos de funções hipergeométricas generalizadas do tipo NF0. Estas distribuições são generaliza ções naturais das distribuições gaussiana e da chamada q-gaussiana, correspondendo aos casos 0F0 e 1F0, respectivamente, e representando (para N > 0) uma grande classe de distribuições de probabilidade com caudas de lei de potência e variância finita. As predições do modelo estão em excelente acordo com experimentos de turbulência Euleriana e turbulência Lagrangeana. O modelo também é aplicado para descrever flutuações dos preços de ativos financeiros. No contexto da analogia entre turbulência e mercados financeiros, nosso modelo de intermitência é reformulado como um modelo de volatilidade estocástica, descrevendo quantitativamente pela primeira vez a chamada cascata de informa ção dos mercados financeiros. Mostramos que as distribuições teóricas ajustam muito bem as distribuições empíricas dos retornos do Ibovespa para registros de alta frequência (cotações intraday). Uma aplicação do modelo à precificação de opções também é discutida brevemente. Finalmente, uma generalização do nosso modelo é apresentada, a qual resulta em toda a família de distribuições baseadas nas funções hipergeométricas generalizadas NFM. Possíveis aplicações desta classe geral de distribuições são mencionadas brevemente