Teoria de Morse e aplicações a uma classe de problemas elípticos semilineares

Abstract

Neste trabalho elencaremos alguns resultados da teoria de Morse em dimensão finita e infinita para funcionais f duas vezes diferenciável, com derivadas até segunda ordem contínuas, definidos em uma variedade diferenciável M, modelada em um espaço de Hilbert H. Em determinados casos, tais resultados quando aliados a teoremas de deformação, nos possibilitam descrever grupos críticos de certos pontos críticos e, por conseguinte, a aquisição de teoremas de pontos críticos, que garantem sob quais condições f admite um ou mais pontos críticos não triviais. Como aplicação estudaremos a existência e multiplicidade de soluções para uma classe de problemas envolvendo o operador Laplaciano. Para tal, utilizaremos ferramentas do cálculo variacional e a Teoria de Morse aplicados a um funcional I, associado ao problema proposto. Para este feito utilizaremos técnicas envolvendo os autovalores do Laplaciano, com objetivo de descrever os grupos críticos dos pontos críticos dessa classe de problemas com base nestes autovalores. Essa análise permitirá que possamos encontrar pelo menos quatro pontos críticos não triviais e distintos.