Um estudo geométrico da dinâmica do dumb-bell

Abstract

Neste trabalho fizemos uma abordagem geométrica no estudo da dinâmica do dumb-bell em duas situações. Na primeira situação, o dumb-bell é submetido ao campo gravitacional uniforme e consideramos dois casos. Em um, a sua haste é inextensível, em outro, sua haste tem comprimento variável e se estende como um oscilador harmônico simples. Na segunda situação, a haste do dumb-bell é inextensível, e se move sob a ação de um campo central Newtoniano devido a uma massa muito grande fixa em um ponto do espaço. Em todas as situações abordadas introduzimos coordenadas convenientes no espaço de configurações 𝑄, o que nos permite obter uma expressão simples para a métrica cinética 𝐾 do sistema mecânico simples (𝑄, 𝐾, 𝑉 ) associado, onde 𝑉 é a função potencial. A expressão para o Lagrangeano nestas coordenadas é simples e permite que resolvamos completamente o sistema das equações de Euler-Lagrange na primeira situação e provarmos a existência de dois tipos de soluções para o movimento do dumb-bell no caso do campo de força Newtoniano. Um aspecto importante de nossa abordagem é que não fazemos a restrição encontrada usualmente na literatura, de que o centro de massa do dumb-bell move-se ao longo de uma órbita Kepleriana fixa. Ademais, apresentamos uma breve justificativa de que tal restrição de fato não pode ser feita.