Mecânica quântica em superfícies no espaço de Minkowski

Abstract

Em abril de 1981, Rogério Cantarino Trajano Da Costa publicou o seu relevante paper, intitulado "Quantum Mechanics of a constrained Particle". Neste trabalho o autor discute o movimento de uma partícula quântica não relativista confinada a uma superfície de R³, através da ação de um potencial externo, e também o confinamento à uma curva. Um relevante resultado obtido ao fim deste processo de confinamento, é o surgimento de um "potencial geométrico"(que depende da curvatura gaussiana e da curvatura média no caso da superfície e da curvatura da curva no caso do confinamento a uma curva) na equação de Schrödinger da partícula confinada. Neste trabalho seguimos os passos de Da Costa e obtemos um resultado semelhante considerando uma superfície no espaço de Minkowski R³₁. Particularizaremos nossos estudos para o caso de superfícies de revolução tipo-espaço e tipo-tempo, com eixos tipo-espaço e tipo-tempo no espaço de Minkowski. Mostraremos que para superfícies de revolução destes tipos, o operador forma é diagonalizável com respeito a métrica de Minkowski, e que após um processo de separação de variáveis na equação de Schrödinger da partícula confinada, obtemos uma equação que depende apenas da variável da curva perfil da superfície. Por meio de um lema que nos permite escrever as curvaturas principais da superfície de forma mais simples e de algumas manipulações algébricas, obtemos uma equação do tipo Sturm-Liouville que depende apenas das curvaturas principias e da derivada de uma das curvaturas. Consideramos então o confinamento as variedades de curvatura constante 1 e –1 (hiperbolóide de 1 e 2 folhas) obtendo para o caso do hiperbolóide de uma folha um potencial geométrico da forma sech²(q2), potencial este que aparece como casos particulares na segunda equação de Pöschl-Teller e no estudo de sólitons. Aplicamos então a teoria de Sturm-Liouville obtendo boas estimativas para intervalos onde podemos encontrar os autovalores dos problemas de Sturm-Liouville associados. Por meio do método de Rayleigh-Ritz obtemos estimativas melhores para os primeiros autovalores. Por fim, como uma consequência do lema a respeito das curvaturas principais, obteremos uma classe de superfícies de revolução com eixo tipo-espaço e tipo-tempo com a curvatura da curva perfil constante e seus potenciais geométricos. Faremos também uma discussão sobre a possibilidade da equação de Schrödinger para tais superfícies de revolução se tornar um oscilador harmônico.