Criticalidade em tamanho finito: presença e ausência de competição anisotrópica

Abstract

Sistemas de tamanho nito con nados entre geometrias de placas planas e paralelas, cujas superf cies de contorno est~ao sujeitas a condi c~oes de contorno de Dirichlet e Neumann, e separados por uma dist^ancia L foram analisados no espa co dos momentos. N os introduzimos uma representa c~ao modi cada para as autofun c~oes discretas e utilizamos campos escalares renormalizados em termos de partes de v ertice 1PI (do ingl^es \one-particle irreducible") sem massa e tamb em massivos. N os discutimos as multiplicidades nas regras de Feynman que surgem na constru c~ao dos diversos diagramas, o que e devido a escolha da representa c~ao das fun c~oes base, e apresentamos as condi c~oes de normaliza c~ao modi cadas. Para quase-momentos externos n~ao nulos, provamos que as condi c~oes de contorno de Neumann e de Dirichlet podem ser uni cadas em um unico formalismo. Discutimos os regimes de crossover dimensionais para estes e mostramos a correspond^encia com as condi c~oes de contorno peri odicas e antiperi odicas. Em particular, provamos que os efeitos de tamanho nito para Dirichlet e Neumann n~ao requerem necessariamente termos de superf cie, mas s~ao implementados n~ao-trivialmente nas regras de Feynman envolvendo apenas termos de bulk na Lagrangiana. Como uma aplica c~ao, calculamos, via esquema diagram atico, os expoentes cr ticos e , pelo menos, at e a ordem de dois loops. Mostramos que os ndices cr ticos s~ao os mesmos do sistema bulk (in nito), independentemente das condi c~oes de contorno. Em seguida, estendemos o nosso m etodo de an alise do tamanho nito para sistemas competitivos m-axiais no ponto cr tico de Lifshitz. Em uma abordagem inicial, consideramos nita uma das dire c~oes ao longo do subespa co sem competi c~ao e observarmos um comportamento semelhante com rela c~ao ao crossover dimensional de sistemas n~ao-competitivos. Para L su cientemente grande, calculamos os expoentes cr ticos 1, 1, 2 e 2 at e ordens de pelo menos dois loops com aux lio de uma aproxima c~ao especial para a regulariza c~ao das integrais de Feynman. Tais expoentes s~ao id^enticos aos do sistema in nito. Por m, analisamos sistemas competitivos arbitr arios do tipo Lifshitz, os quais apresentam diversos eixos de competi c~ao e podem ser tratados pelo modelo CECI, que e o caso mais geral dentre os modelos que exibem o ponto de Lifshitz como caracter stica. Para formular o problema das transi c~oes de fase nesses exemplos de sistemas complexos, introduzimos uma t ecnica de teoria de campo escalar de massa nula e aplicamos o m etodo de subtra c~ao m nima, como meio de renormaliza c~ao, para calcular, perturbativamente, os expoentes cr ticos do modelo CECI, no caso isotr opico (d = mn). Para o caso isotr opico desse modelo, conseguimos calcular os expoentes cr ticos exatamente at e O( 2 n) (at e O( 3 n) para a dimens~ao an^omala n).