Transformadas fracionais em corpos finitos: novas definições e cenários de aplicação

Abstract

As transformadas fracionais correspondem a uma generalização das transformadas clássicas em que potências não inteiras do operador são admitidas. Em virtude desta generalização, há uma maior flexibilidade na resolução de diversos problemas da Engenharia. Nesse contexto, outros tipos de transformadas são as definidas em corpos finitos, que propiciam vantagens relacionadas à inexistência de erros de truncagem ou arredondamento e baixa complexidade computacional. Aliando esses dois aspectos, foram definidas as transformadas fracionais em corpos finitos baseadas na expansão espectral do operador da transformada. Nesse caso, não é necessária a construção de conjuntos ortogonais de autovetores ou de sequências de Legendre em corpos finitos. Nesta tese, as transformadas fracionais de Fourier, Hartley, seno e cosseno tipos 1 e 4 em corpos finitos são introduzidas, utilizando-se uma abordagem baseada em funções de matrizes sobre corpos finitos. A abordagem proposta é comparada com outras abordagens da literatura, avaliando-se suas limitações, vantagens e desvantagens. Algumas vantagens da abordagem proposta são: há uma expressão fechada para computar as transformadas fracionais em corpos finitos; não há a necessidade de construção de conjuntos ortogonais de autovetores das matrizes de transformação; é possível utilizar os algoritmos rápidos já desenvolvidos para as transformadas clássicas. São apresentadas algumas propriedades da transformada fracional de Fourier em corpos finitos e a relação entre esta e a transformada fracional de Hartley em corpos finitos. Com essas ferramentas, são propostas e avaliadas algumas aplicações em cifragem de imagens, em marcas d’água frágeis usadas em imagens digitais e num sistema de comunicação multiusuário.