Modelo de Potts com interações aleatórias em redes fractais

Abstract

O estudo das intera¸c˜oes entre os spins em materiais magn´eticos ´e um tema de grande importˆancia em mecˆanica estat´ıstica. A investiga¸c˜ao das grandezas termodinˆamicas e estat´ısticas de modelos de spins, tal como o modelo de Potts, ajudam a entender melhor a dinˆamica de sistemas complexos, possibilitando uma grande variedade de aplica¸c˜oes em diversas ´areas. No caso do modelo de Potts, por exemplo, suas aplica¸c˜oes v˜ao desde a teoria de grafos em F´ısica Matem´atica, simula¸c˜oes de forma¸c˜ao de guetos ´etnicos em Sociologia at´e estudos sobre padr˜ao de crescimento de c´elulas malignas e sua influˆencia no crescimento de tumores de cˆancer. Nesta disserta¸c˜ao, investiga-se a transi¸c˜ao de fase do modelo de Potts com q estados, definido em uma rede fractal e com intera¸c˜oes aleat´orias (positivas e negativas) entre spins primeiros vizinhos. Os valores dessas intera¸c˜oes s˜ao escolhidos randomicamente a partir de uma fun¸c˜ao de densidade de probabilidades e distribu´ıdas em uma rede hier´arquica da fam´ılia diamante com fator de escala 3. Considerou-se as seguintes fun¸c˜oes sim´etricas: gaussiana (normal), delta-bimodal, uniforme e exponencial. Essa fam´ılia de redes ´e constru ´ıda de uma maneira iterativa em um processo que lhe assegura a propriedade de invariˆancia de escala, possibilitando assim que a t´ecnica do grupo de renormaliza¸c˜ao no espa¸co real de Migdal-Kadanoff seja apropriada para estudar os fenˆomenos cr´ıticos do modelo em tais redes. As equa¸c˜oes de renormaliza¸c˜ao para os acoplamentos e para suas correspondentes transmissividades t´ermicas foram obtidas de forma anal´ıtica exata. Utilizando o m´etodo conhecido como m´etodo dos reservat´orios foi poss´ıvel analisar numericamente a evolu¸c˜ao das distribui¸c˜oes dos acoplamentos renormalizados e verificar a existˆencia de uma transi¸c˜ao da fase paramagn´etica de altas temperaturas para a fase condensada em baixas temperaturas, determinando-se os respectivos pontos cr´ıticos para os casos particulares com o n´umero de estados de Potts q = 3, 4, 5 e 6, em redes com dimens˜ao fractal Df = 4, 5 e 6. Para cada modelo espec´ıfico com n´umero de estados de Potts q = 3, 4, 5 e 6, foi tamb´em calculada a correspondente dimens˜ao cr´ıtica inferior, abaixo da qual a transi¸c˜ao de fase n˜ao ´e observada